Question

16．射洪县教育局从去年参加了计算机职称考试，并且年龄在[25，55]岁的教师中随机抽取n人的成绩进行了调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数	分组	低碳族的人数	占本组的频率
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	p
第三组	[35，40）	100	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	30	q
第六组	[50，55）	15	0.3

（1）补全频率分布直方图，并求a、p、q的值；
（2）若用以上数据来估计今年参考老师的过关情况，并将每组的频率视作对应年龄阶段老师的过关概率，考试是否过关互不影响．现有三名教师参加该次考试，年龄分别为41岁、47岁、53岁．记ξ为过关的人数，请利用相关数据求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据频率和为1，计算[30，35）内的频率，求出对应小矩形的高，
补全频率分布直方图，计算样本容量n以及p、a和q的值；
（2）求出年龄分别为41岁、47岁、53岁过关的概率，
得ξ的可能取值，求出对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）根据频率和为1，得[30，35）内的频率为
1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴$\frac{0.3}{5}$=0.06，
∴补全频率分布直方图如图所示：

第一组的人数为$\frac{120}{0.6}$=200，频率为0.04×5=0.2，
∴n=$\frac{200}{0.2}$=1000；
第二组的频率为0.3，
∴第二组的人数为1000×0.3=300，
∴p=$\frac{195}{300}$=0.65；
第四组共有1000×0.15=150人，
∴a=150×0.4=60；
第五组共有1000×0.1=100人，
∴q=30÷100=0.3；
综上，a=60，p=0.65，q=0.3；
（2）根据题意，年龄分别为41岁、47岁、53岁过关的概率分别为$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{10}$，
则P（ξ=0）=$\frac{3}{5}$×$\frac{7}{10}$×$\frac{7}{10}$=$\frac{147}{500}$，P（ξ=1）=$\frac{2}{5}$×$\frac{7}{10}$×$\frac{7}{10}$+2×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{7}{10}$=$\frac{224}{500}$，
P（ξ=2）=2×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{7}{10}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{111}{500}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{10}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{18}{500}$；
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{147}{500}$	$\frac{224}{500}$	$\frac{111}{500}$	$\frac{18}{500}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{147}{500}$+1×$\frac{224}{500}$+2×$\frac{111}{500}$+3×$\frac{18}{500}$=1．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．