Question

11．已知函数f（x）=x³+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]．
（1）用分析法证明：f（x）≥1-x+x²；
（2）证明：f（x）≤$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用分析法证明即可，
（2）先放缩得到f（x）≤x+$\frac{1}{x+1}$，再构造函数g（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]，利用函数的单调性和最值得关系即可证明．

解答 证明：（1）由x∈[0，1]，
则x+1∈[1，2]，
要证f（x）≥1-x+x²，
只需证x³（x+1）+1≥（x+1）（1-x+x²），
只需证x⁴+x³+1≥x³+1，
只需证x⁴≥0，显然成立，
∴f（x）≥1-x+x²，
（2）∵0≤x≤1，∴x³≤x，
∴f（x）≤x+$\frac{1}{x+1}$，
设g（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]，
∴g′（x）=1-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x}{（x+1）^{2}}$≥0，
∴g（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）≤g（1）=$\frac{3}{2}$

点评 本题考查额分析法和导数和函数的单调性最值得关系，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题