Question

1．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，
（1）通过计算可得尖头几碗？
（2）若设每层灯碗数构成一个数列{a_n}（n∈n*），求数列{n•a_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）每层的灯数构成等比数列{a_n}，公比为2．S₇=381．利用求和公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=3×2^n-1．na_n=3n•2^n-1．再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）每层的灯数构成等比数列{a_n}，公比为2．S₇=381．
∴381=$\frac{{a}_{1}（{2}^{7}-1）}{2-1}$，解得a₁=3．
（2）由（1）可得：a_n=3×2^n-1．
na_n=3n•2^n-1．
∴数列{n•a_n}前n项和T_n=3[1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1]，
2T_n=3[2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ]，
∴-T_n=3[1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ]=3$[\frac{{2}^{n}-1}{2-1}-n•{2}^{n}]$，
∴T_n=3（n-1）•3•2ⁿ+3．

点评 本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．