Question

6．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：
（1）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

Answer 1

分析 （1）先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
（2）先分类，把四个小球先分成两组，每组两个小球，或者是把四个小球分成两组，每组一个和三个，分完小组后再进行排列，从4个盒中选两个位置排列，得到结果．

解答 解：（1）根据题意，分三步进行分析：
第一步，从4个小球中取两个小球，有C₄²种方法；
第二步，将取出的两个小球放入一个盒内，有C₄¹种方法；
第三步，在剩下的三个盒子中选两个放剩下的两个小球，有A₃²种方法；
由分步计数原理，共有C₄²•C₄¹•A₃²=144种放法．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
第一类，一个盒子放3个小球，一个盒子放1个小球，两个盒子不放小球有C₄¹•C₄³•C₃¹=48种方法；
第二类，有两个盒子各放2个小球，另两个盒子不放小球有C₄²•C₄²=36种方法；
由分类计数原理，共有48+36=84种放法．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，关键是转化问题．