Question

10．已知数列{a_n}前n项和${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}前n项和为${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4$
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4-[{\frac{1}{2}{{（{n-1}）}^2}-\frac{3}{2}（{n-1}）-4}]$
=n+1．
当n=1时，${a_1}={S_1}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-4=-2$，不满足a_n=n+1．
∴{a_n}的通项公式为${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-2，\;\;\;\;\;\;n=1}\\{n+1，\;\;\;\;n≥2}\end{array}}\right.$．
（2）当n≥2时，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．
当n=1时，${b_1}=\frac{1}{{{a_1}{a_3}}}=\frac{1}{-2×4}=-\frac{1}{8}$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n-1+b_n
=-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{1}{6}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．

点评 本题考査了利用递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．