Question

2．若x∈[1，+∞）时，关于x的不等式$\frac{xlnx}{x+1}$≤λ（x-1）恒成立，则实数λ的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 把不等式转化为xlnx-λ（x²-1）≤0，设函数f（x）=xlnx-λ（x²-1），从而对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤0=f（1）恒成立，求出f′（x），对λ分类判断f′（x）的符号得答案．

解答 解：x∈[1，+∞）时，$\frac{xlnx}{x+1}$≤λ（x-1）?xlnx-λ（x²-1）≤0，
设函数f（x）=xlnx-λ（x²-1），从而对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤0=f（1）恒成立，
又f′（x）=lnx+1-2λx．
①当f′（x）=lnx+1-2λx≤0，即$\frac{lnx+1}{x}≤2λ$时，函数f（x）单调递减，设g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，则g′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}≤0$，g（x）_max=g（1）=1，
即1≤2λ，∴$λ≥\frac{1}{2}$，符合题意；
②当λ≤0时，f′（x）=lnx+1-2λx≥0恒成立，此时f（x）单调递增，于是不等式f（x）≥f（1）=0对任意x∈[1，+∞）恒成立，不符合题意；
③当0＜λ＜$\frac{1}{2}$时，设h（x）=f′（x）=lnx+1-2λx，则h′（x）=$\frac{1}{x}-2λ=0$，可得x=$\frac{1}{2λ}$＞1．
当x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）时，h′（x）=$\frac{1}{x}-2λ$＞0，此时h（x）=f′（x）=lnx+1-2λx单调递增，∴f′（x）=lnx+1-2λx＞f′（1）=1-2λ＞0，
故当x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）时，函数f（x）单调递增，于是，当x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）时，f（x）＞0恒成立，不符合题意．
综上所述，实数λ的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查恒成立问题，训练了分离参数法，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，属难题．