Question

14．已知定义在区间[-3，3]上的单调函数f（x）满足：对任意的x∈[-3，3]，都有f（f（x）-2^x）=6，则在[-3，3]上随机取一个实数x，使得f（x）的值不小于4的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{5}{6}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 易知f（x）-2^x是一个固定的数记为a，进而f（x）=a+2^x，求出a，解不等式，即可得出结论．

解答 解：根据题意可知：f（x）-2^x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）-2^x=a，即f（x）=a+2^x，
∴当x=a时，
又∵a+2^a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2^x，
由2+2^x≥4，x∈[-3，3]，可得x∈[1，3]，区间长度为2，
∴在[-3，3]上随机取一个实数x，使得f（x）的值不小于4的概率为$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
故选C．

点评 本题考查概率的计算，考查函数的性质，正确确定函数的解析式是关键．