Question

9．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[{-1，0}）\\ cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]\end{array}$的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为π+4．

Answer 1

分析 由题意，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[{-1，0}）\\ cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]\end{array}$的图象与x轴围成一个封闭的区域A的面积为$\frac{1}{4}$π+${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx$=$\frac{1}{4}$π+1，即可求出此圆柱的体积．

解答 解：由题意，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[{-1，0}）\\ cosx，x∈[{0，\frac{π}{2}}]\end{array}$的图象与x轴围成一个封闭的区域A的面积为$\frac{1}{4}$π+${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx$=$\frac{1}{4}$π+1，∴此圆柱的体积为4（$\frac{1}{4}$π+1）=π+4，
故答案为：π+4．

点评 本题考查体积的计算，考查定积分知识的运用，正确求出区域的面积是关键．