Question

17．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$，点M，N在过点P的直线上，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=μ\overrightarrow{AC}$，（λ，μ＞0），则λ+2μ的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{8}{3}$
• C． 3
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 由已知条件，说明M，P，N三点共线．表示出λ+2μ的表达式，通过求导求关于λ的函数 的最小值即可．

解答 解：若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=μ\overrightarrow{AC}$，（λ，μ＞0），
$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{PB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$；
M，P，N三点共线，∴存在实数k，使$\overrightarrow{MP}$=k$\overrightarrow{MN}$=k（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$）=-kλ$\overrightarrow{AB}$+kμ$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$；
∴（$\frac{1}{3}$-kλ）$\overrightarrow{AB}$+（kμ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{AC}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}-kλ=1-λ}\\{kμ-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$；
由②得，k=$\frac{1}{3μ}$代入①得，$\frac{1}{3}$-$\frac{λ}{3μ}$=1-λ；
∴μ=$\frac{λ}{3λ-2}$；
∴λ+2μ=λ+$\frac{2λ}{3λ-2}$；
设f（λ）=λ+$\frac{2λ}{3λ-2}$，λ＞0；
∴f′（λ）=$\frac{9{λ}^{2}-12λ}{（3λ-2）^{2}}$，令f′（λ）=0得，λ=0，或 $\frac{4}{3}$；
∴λ∈（0，$\frac{4}{3}$）时，f′（λ）＜0，λ∈（$\frac{4}{3}$，+∞）时，f′（λ）＞0；
∴λ=$\frac{4}{3}$时，f（λ）取极小值，也是最小值；
∴f（λ）的最小值为$\frac{8}{3}$；
即λ+2μ的最小值为$\frac{8}{3}$．
故选：B．

点评 考查向量在几何中的应用，向量加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，通过求导求函数的最小值的方法及过程．