Question

4．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点向圆x²+y²=a²作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为$\sqrt{3}a$，则该双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 由题意，过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点向圆x²+y²=a²作一条切线，斜率为$\frac{a}{b}$，与渐近线y=-$\frac{b}{a}$x垂直，利用被双曲线的两条渐进线截得的线段长为$\sqrt{3}a$，可得两条渐近线的夹角为60°，即可得出结论．

解答 解：由题意，过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点
向圆x²+y²=a²作一条切线，斜率为$\frac{a}{b}$，与渐近线y=-$\frac{b}{a}$x垂直，
∵被双曲线的两条渐进线截得的线段长为$\sqrt{3}a$，
∴两条渐近线的夹角为60°，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，∴c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为2．

点评 本题考查直线与圆、双曲线的位置关系，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．