Question

14．已知函数f（x）=|3x+2|．
（1）解不等式f（x）＜6-|x-2|；
（2）已知m+n=4（m，n＞0），若|x-a|-f（x）≤$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$（a＞0）恒成立，求函数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可解不等式f（x）＜6-|x-2|；
（2）$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）（m+n）$=$\frac{1}{4}（1+1+\frac{n}{m}+\frac{m}{n}）≥1$．令g（x）=|x-a|-f（x），要使不等式恒成立，只需$g{（x）_{max}}=\frac{2}{3}+a≤1$，即可求函数a的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＜6-|x-2|，即|3x+2|+|x-2|＜6．
当$x＜-\frac{2}{3}$时，即-3x-2-x+2＜6，得$-\frac{3}{2}＜x＜-\frac{2}{3}$；
当$-\frac{2}{3}≤x≤2$时，即3x+2-x+2＜6，得$-\frac{3}{2}≤x＜1$；
当x＞2时，即3x+2+x-2＜6，无解．
综上，原不等式的解集为$（-\frac{3}{2}，1）$．
（2）$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）（m+n）$=$\frac{1}{4}（1+1+\frac{n}{m}+\frac{m}{n}）≥1$．
令g（x）=|x-a|-f（x）=|x-a|-|3x+2|=$\left\{{\begin{array}{l}{2x+2+a，x＜-\frac{2}{3}}\\{-4x-2+a，-\frac{2}{3}≤x≤a}\\{-2x-2-a，x＞a}\end{array}}\right.$
∴当$x=-\frac{2}{3}$时，$g{（x）_{max}}=\frac{2}{3}+a$．
∴要使不等式恒成立，只需$g{（x）_{max}}=\frac{2}{3}+a≤1$，即$0＜a≤\frac{1}{3}$，
故所求实数a的取值范围是$（0，\frac{1}{3}]$．

点评 本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确转化是关键．