Question

9．若一个正四面体的表面积为S₁，其内切球的表面积为S₂，则$\frac{S_1}{S_2}$=（　　）

• A． $\frac{6}{π}$
• B． $\frac{{6\sqrt{3}}}{π}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{π}$

Answer 1

分析 设正四面体ABCD的棱长为a，利用体积分割法计算出内切球半径r，从而得到S₂关于a的式子．利用正三角形面积公式，算出正四面体的表面积S₁关于a的式子，由此不难得出S₁与S₂的比值．

解答 解：设正四面体ABCD的棱长为a，可得
∵等边三角形ABC的高等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，底面中心将高分为2：1的两段
∴底面中心到顶点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
可得正四面体ABCD的高为h=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
∴正四面体ABCD的体积V=$\frac{1}{3}$×S_△ABC×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³，
设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4×$\frac{1}{3}$×S_△ABC×r=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³，解得r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a
∴内切球表面积S₂=4πr²=$\frac{π{a}^{2}}{6}$
∵正四面体ABCD的表面积为S₁=4×S_△ABC=$\sqrt{3}$a²，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{6\sqrt{3}}{π}$，
故选B．

点评 本题给出正四面体，求它的表面积与其内切球表面积的比值，着重考查了正四面体的性质、球的表面积公式和多面体的外接、内切球半径等知识，属于中档题．