Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow{b}$=（3，-4tanα），α∈（0，$\frac{π}{2}$），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）求cos（$\frac{3π}{2}$+α）-sin（α-π）．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，求解出sinα，可得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的坐标．即可求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）利用诱导公式化简后，将α带入计算即可．

解答 解：（1）由题意，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即12-20sinα=0，可得sinα=$\frac{3}{5}$．
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴cosα=$\frac{4}{5}$，
tanα=$\frac{3}{4}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$=（4，4），$\overrightarrow{b}$=（3，-3），
那么：$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（1，7）
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{1+49}=5\sqrt{2}$
（2）由cos（$\frac{3π}{2}$+α）-sin（α-π）=sinα+sinα=2sinα
由（1）可得sinα=$\frac{3}{5}$．
∴cos（$\frac{3π}{2}$+α）-sin（α-π）=2sinα=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了向量的计算和同角三角函数的计算，诱导公式的化解．属于基础题．