Question

15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，f′（x）为其导函数．当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，且f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-1，0）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、还有g（-1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．

解答 解：设g（x）=xf（x），
则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是增函数，
∵f（1）=0，∴f（-1）=0；  即g（-1）=0，g（1）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
当x＞0时，不等式f（x）＞0等价于g（x）＞0，即g（x）＞g（1），即x＞1；
当x＜0时，不等式f（x）＞0等价于g（x）＜0，即g（x）＜g（-1），即x＜-1．
故所求的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故选：C

点评 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．