Question

17．在△ABC中，∠C=$\frac{π}{4}$，O为外心，且有$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，则m+n的取值范围是[-$\sqrt{2}$，1）．

Answer 1

分析 利用已知条件，得∠AOB=$\frac{π}{2}$，两边平方$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，则m²+n²=1结合基本不等式，即可求得结论．

解答 解：设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，
∴m+n＜1…①
∵∠C=$\frac{π}{4}$，O是△ABC的外心，
∴∠AOB=$\frac{π}{2}$
两边平方$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，即可得出1=m²+n²+2mncos∠AOB⇒m²+n²=1…②，
∵$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$≥（$\frac{m+n}{2}$），…③，
由①②③得-$\sqrt{2}$≤m+n≤1
故答案为：[-$\sqrt{2}$，1）

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．