Question

7．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠DAE=∠EAC，BD=2，DE=3．
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）求sinC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据tanθ=$\frac{BD}{AB}$，tan2θ=$\frac{BE}{AB}$，利用正切函数的二倍角公式，即可求得tanθ，即可求得AB的长；
（Ⅱ）sinC=sin（$\frac{π}{2}$-∠BAC）cos∠BAC=cos（θ+2θ），利用二倍角公式即可求得sinC．．

解答 解：（Ⅰ）设∠BAD=θ＜90°，在Rt△ABD中，tanθ=$\frac{BD}{AB}$，AB=$\frac{BD}{tanθ}$，
在Rt△ABE中，tan2θ=$\frac{BE}{AB}$，AB=$\frac{BE}{tan2θ}$，
∴$\frac{BD}{tanθ}$=$\frac{BE}{tan2θ}$，则5tanθ=2tan2θ，
即5tanθ=$\frac{2×2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$，即5tan²θ=1，解得$tanθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（负值舍去），
因此$AB=\frac{2}{tanθ}=2\sqrt{5}$．
（Ⅱ）由题意知0°＜θ＜2θ＜3θ＜90°．
因为$tanθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则$sinθ=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，$cosθ=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
则sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，cos2θ=cos²θ-cos²θ=$\frac{2}{3}$，即$sin2θ=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，$cos2θ=\frac{2}{3}$．
sinC=sin（$\frac{π}{2}$-∠BAC）cos∠BAC=cos（θ+2θ）=cosθcos2θ-sinθsin2θ，=$\frac{\sqrt{30}}{6}$×$\frac{2}{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{6}$×$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{30}}{18}$
∴sinC=$\frac{\sqrt{30}}{18}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．