Question

16．已知命题P：方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2m+8}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题Q：曲线y=x²+（2m-3）x+$\frac{1}{4}$与x轴交于不同的两点，如果“P∨Q”为真命题且“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若P为真，解得m范围，若Q为真，则△≥0，解得m范围，由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p，q一真一假．解出即可．

解答 解：若P为真，则：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}＞2m+8}\\{2m+8＞0}\end{array}\right.$，
解得：-4＜m＜-2或m＞4；
由曲线y=x²+（2m-3）x+$\frac{1}{4}$与x轴交于不同的两点，
则△=（2m-3）²-1＞0，解得：m＞2或m＜1，
若Q为真，则m＞2或m＜1，
∵“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，
∴P，Q一真一假，
P真Q假时，$\left\{\begin{array}{l}{-4＜m＜-2或m＞4}\\{1≤m≤2}\end{array}\right.$，无解；
P假Q真时，$\left\{\begin{array}{l}{m≤-4或-2≤m≤4}\\{m＞2或m＜1}\end{array}\right.$，
解得：m≤-4或-2≤m＜1惑2＜m≤4．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、椭圆的标准的方程、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力．