Question

4．已知函数f（x）=|x-a|+|x+5|．
（1）若a=-1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；
（2）若f（x）≥6恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，不等式：f（x）≥2|x+5|⇒|x+1|≥|x+5|，等价于（x+1）与（x+5）的和与差同号，转化为一元一次不等式得答案；
（2）利用绝对值的不等式放缩，把f（x）≥6恒成立转化为|a+5|≥6，求解绝对值的不等式得答案．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）≥2|x+5|⇒|x+1|≥|x+5|
?（2x+6）（x+1-x-5）≥0，解得：x≤-3，
∴原不等式解集为{x|x≤-3}；
（2）f（x）=|x-a|+|x+5|≥|x-a-（x+5）|=|a+5|，
若f（x）≥6恒成立，
只需：|a+5|≥6，解得：a≥1或a≤-11．

点评 本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查数学转化思想方法，是中档题．