Question

12．已知定义域为[0，e]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0；
②f（e）=e；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤e，则恒有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：不等式f（x）≤e对任意x∈[0，e]恒成立；
（3）若对于任意x∈[0，e]，总有4f²（x）-4（2e-a）f（x）+4e²-4ea+1≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x₁=0，x₂=0代入即可得到答案，
（2）用定义确定函数f（x）在[0，e]上是单调递增的，求出函数的最值即可，
（3）先根据函数f（x）的单调性确定函数f（x）的取值范围，再分离参数的方法将a表示出来用基本不等式求出a的范围．

解答 解：（1）令x₁=0，x₂=0，得f（0）≤0，
又对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0，
∴f（0）=0，
（2）证明：设0≤x₁≤x₂≤e，则x₂-x₁∈（0，e]
∴f（x₂）-f（x₁）=f（（x₂-x₁）+x₁）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）≥0，
∴f（x₂）≥f（x₁），
∴f（x）在[0，e]上是单调递增的，
∴f（x）≤f（e）=e，
（3）∵f（x）在[0，e]上是增函数，
∴f（x）∈[0，e]，
∵4f²（x）-4（2e-a）f（x）+4e²-4ea+1≥0，
∴4f²（x）-8ef（x）+4e²+1≥4a[e-f（x）]，
当f（x）≠e时，
a≤$\frac{4{f}^{2}（x）-8ef（x）+4{e}^{2}+1}{4[e-f（x）]}$，
令y=$\frac{4{f}^{2}（x）-8ef（x）+4{e}^{2}+1}{4[e-f（x）]}$=$\frac{4[e-f（x）]^{2}+1}{4[e-f（x）]}$=e-f（x）+$\frac{1}{4[e-f（x）]}$≥e，当且f（x）=e-$\frac{1}{2}$时取等号，
∴a≤e，
当f（x）=e时，4f²（x）-4（2e-a）f（x）+4e²-4ea+1=4e²-4（2e-a）e+4e²-4ea+1=1≥0恒成立，
综上所述a≤e．

点评 本题考查了抽象函数的问题，以及函数的单调性和函数的最值，以及参数的取值范围，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．