Question

20．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上，P为AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁PB；
（Ⅱ）若AD=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，求直线A₁C与平面AA₁B₁B所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AB₁与A₁B交于点E，则PE∥B₁C，由此能证明B₁C∥平面A₁PB；
（Ⅱ）由已知可得BC⊥平面A₁AB，则∠CA₁B为A₁C与平面AA₁B₁B所成的角，求解三角形得答案．

解答 （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
连接AB₁与A₁B交于点E，∴E为A₁B中点，
连接PE，∵P为AC的中点，∴PE∥B₁C
∵PE?A₁PB，B₁C?A₁PB，
∴B₁C∥平面A₁PB；
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 为直三棱柱，
∴A₁A⊥BC，
∵AD⊥平面A₁BC，∴AD⊥BC，
又A₁A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AB，
则∠CA₁B为A₁C与平面AA₁B₁B所成的角．
在Rt△ADB中，∵AB=2，AD=$\sqrt{3}$，∴BD=1，
∵Rt△A₁AB∽Rt△ADB，∴$\frac{DB}{AB}=\frac{AB}{{A}_{1}B}$，则${A}_{1}B=\frac{A{B}^{2}}{DB}=\frac{{2}^{2}}{1}=4$．
在Rt△A₁BC中，tan∠CA₁B=$\frac{BC}{{A}_{1}B}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判断，考查线面角的求法，注意空间思维能力的培养，是中档题．