Question

11．设${（3x+\sqrt{x}）}^{n}$的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240．
（1）求n；
（2）求展开式中所有x的有理项．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，
（2）利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，2，4得答案．

解答 解：（1）令x=1，M=4ⁿ                              
二项系数之和为2ⁿ                            
所以4ⁿ-2ⁿ=240  得n=4，
（2）T_r+1=3^4-rC₄^rx${\;}^{4-\frac{r}{2}}$，0≤r≤4，所以r=0，2，4，
当r=0时，T₁=3⁴C₄⁰x⁴=81x⁴，
当r=2时，T₂=3²C₄²x³=54x³，
当r=4时，T₁=3⁰C₄⁴x²=x²．

点评 本题考查赋值法是求二项展开式系数和的方法；二项式系数和公式为2ⁿ；利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．