Question

19．已知f（x）=lnx+$\frac{1}{8}$x²．
（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求导数，确定切线的斜率的范围，即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{1}{8}$x²，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{4}$x，
x=1时，f′（1）=$\frac{5}{4}$，f（1）=$\frac{1}{8}$，
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y-$\frac{1}{8}$=$\frac{5}{4}$（x-1），即10x-8y-9=0；
（2）x＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{4}$x≥1，
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，倾斜角α的取值范围为[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．