Question

2．体积为18$\sqrt{3}$的正三棱锥A-BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是[8π，16π]．

Answer 1

分析 利用体积公式，求出DB，R，进而求出OE，即可得出结论．

解答 解：设BC=3a，R=2a，则O到平面DCB的距离为OO′=a，三棱锥的高为3a，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×9{a}^{2}•3a$=18$\sqrt{3}$，∴a=2，∴DB=6，R=4．
由余弦定理可得O′E=$\sqrt{12+4-2×2×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，∴OE=2$\sqrt{2}$，
与OE垂直的截面圆的半径为$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$，面积为π•8=8π，
以OE所在直径为圆的直径的圆面积为π•16=16π，
故答案为：[8π，16π]．

点评 本题考查三棱锥体积的计算，考查圆的面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．