Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-y²=1的焦点是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动点M在椭圆C上，且|MN|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意求得椭圆的离心率，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，当斜率为0时，即可求得m的值，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的表达式，利用导数求得函数的单调性及最值，即可求得m的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-y²=1的焦点是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的顶点，
且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，
∴a=$\sqrt{6}$，${e}_{双曲线}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$，${e}_{椭圆}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$=$\frac{c}{a}$，
∴c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{6-5}=1$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）当直线MN的斜率为0时，由|MN|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y），则y=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
则直线MN在y轴上的截距为$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
当直线MN的斜率不存时，与y轴无焦点，
设MN为：y=kx+m，（k≠0）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+6k²）x²+12kmx+6m²-6=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12km}{1+6{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{6{m}^{2}-6}{1+6{k}^{2}}$，
△=（12km）²-4（1+6k²）（6m²-6）＞0，△=144k²-24m²+24＞0，∴m²＜6k²+1，
|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（-\frac{12km}{1+6{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{6{m}^{2}-6}{1+6{k}^{2}}]}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
整理，得${m}^{2}=\frac{39{k}^{2}-18{k}^{4}+7}{9{k}^{2}+9}$，
∴${m}^{2}=\frac{39{k}^{2}-18{k}^{4}+7}{9{k}^{2}+9}$＜6k²+1，
整理得：36k⁴+12k²+1＞0，即6k²+1＞0，k∈（-∞，0）∪（0，+∞），
则${m}^{2}=\frac{39{k}^{2}-18{k}^{4}+7}{9{k}^{2}+9}$=$\frac{-18（{k}^{2}+1）^{2}+75（{k}^{2}+1）-50}{9（{k}^{2}+1）}$，令k²+1=t，t＞1，
则f（t）=-2t-$\frac{50}{9t}$+$\frac{25}{3}$，t＞1，求导f′（t）=-2+$\frac{50}{9{t}^{2}}$，
令f′（t）＞0，解得：1＜t＜$\frac{5}{3}$，
令f′（t）＜0，解得：t＞$\frac{5}{3}$，
则f（t）在（1，$\frac{5}{3}$）单调递增，在（$\frac{5}{3}$，+∞）单调递减，
∴当t=$\frac{5}{3}$时，f（t）取最大值，最大值为$\frac{5}{3}$，
∴m的最大值为$\frac{5}{3}$，
综上可知：m的最大值为$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．