Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，若顶点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{{3{y^2}}}{4}$=1
• B． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}$=1
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}$=1
• D． $\frac{{3{x^2}}}{4}-\frac{y^2}{4}$=1

Answer 1

分析 根据题意，结合双曲线的方程由点到直线的距离公式可得顶点到渐近线的距离为$\frac{a}{2}=\sqrt{3}$，解可得a的值，即可得b的值，代入双曲线的方程即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线渐近线方程为y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，变形可得$x±\sqrt{3}y=0$，
顶点坐标（a，0），顶点到渐近线的距离为$\frac{a}{2}=\sqrt{3}$，
解得$a=2\sqrt{3}$，
根据渐近线方程的斜率$\frac{b}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，可得b=2，
所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$；
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程与渐近线方程的关系．