Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2则θ的取值范围为$[0，\frac{π}{3}]$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，可得：$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=12，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，可得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，可得：$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=12，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=8≥2$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$≥$\frac{1}{2}$．
∴θ∈$[0，\frac{π}{3}]$．
故答案为：$[0，\frac{π}{3}]$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．