Question

2．设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心．
请把正确命题的序号填在横线上：①②③．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，然后对应选项一一判定即可．

解答 解：①因为PH⊥底面ABC，所以PH⊥BC，又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC．同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
②若PA，PB，PC两两互相垂直，所以PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，由此推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
③若PA=PB=PC，由此推出AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，正确．
故答案为①②③．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查学生分析问题解决问题的能力，三垂线定理的应用，是中档题．