Question

3．已知关于x方程|log_1.4|x-1||=1.4^|x-1|，则该方程的所有根的和为6．

Answer 1

分析 令x-1=t，则关于x方程|log_1.4|x-1||=1.4^|x-1|可转化为关于t方程|log_1.4|t||=1.4^|t|，函数y=|log_1.4|t||，y=1.4^|t|，的图象如图所示（要注意到y=log_1.4t，y=1.4^t有两个交点），可得|log_1.4|t||=1.4^|t|，有6个根t₁与t₆；t₂与t₅；t₄与t₃关于y轴对称．即方程|log_1.4|x-1||=1.4^|x-1|有6个根x₁与x₆；x₂与x₅；x₄与x₃关于直线x=1轴对称，

解答 解：令x-1=t，则关于x方程|log_1.4|x-1||=1.4^|x-1|可转化为关于t方程|log_1.4|t||=1.4^|t|，
函数y=|log_1.4|t||，y=1.4^|t|，的图象如图所示（要注意到y=log_1.4t，y=1.4^t有两个交点）．
∴关于t方程|log_1.4|t||=1.4^|t|，有6个根t₁与t₆；t₂与t₅；t₄与t₃关于y轴对称．
∴关于x方程|log_1.4|x-1||=1.4^|x-1|有6个根x₁与x₆；x₂与x₅；x₄与x₃关于直线x=1轴对称，
则该方程的所有根的和为6．
故答案为：6

点评 本题考查了对数函数与指数函数的图象、性质，要注意到y=log_1.4t，y=1.4^t有两个交点时解题关键，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．