Question

2．已知直线x+y-a=0与圆x²+y²=2交于A、B两点，O点坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$满足条件$|{2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}|$，则实数a的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $-\sqrt{2}$
• C． ±1
• D． $±\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据条件$|{2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}|$，两条平方后，可得-12$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=12$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=0．
那么∠AOB=90°，直线x+y-a=0的斜率k=-1，直线过（$-\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．即可得实数a的值．

解答 解：由题意，$|{2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}|$，
两条平方，可得-12$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=12$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=0．
∴∠AOB=90°，
直线x+y-a=0的斜率k=-1，
直线必过（$-\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0）．
当x=$-\sqrt{2}$，y=0时，a=$\sqrt{2}$．
当x=$\sqrt{2}$，y=0时，a=-$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断．向量的运用．属于基础题