Question

13．已知f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2sinxcosx
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，f（A）=-$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，求c．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，
（2）根据f（A）=-$\sqrt{3}$，求解A角的大小，利用余弦定理即可求解c的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2sinxcosx
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期为T=π．
（Ⅱ）∵f（A）=-$\sqrt{3}$，即2cos（2A$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{3}$，
∴cos（2A$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，由余弦定理得，c²+b²-2bccosA=a²，
∵a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴c²-$\sqrt{2}$c-1=0，
解得：c=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
故c的值为：$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用以及余弦定理的运用．三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．