Question

2．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则称函数f（x）为“理想函数“．下列四个函数中：①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=x²；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；④f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，能称为“理想函数”的有③（写出所有满足要求的函数的序号）．

Answer 1

分析 先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可

解答 解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，
①f（x）=$\frac{1}{x}$为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（-∞，0），（0，+∞），故排除①；
②f（x）=x² 为定义域上的偶函数，排除②；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故③为理想函数；
④f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，定义域为R，由于y=2^x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除④；
故答案为 ③．

点评 本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法．