Question

4．如图，正方形ABCD中，AC与BD交于O，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$，若$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{OF}$，则λ+μ的值为（　　）

• A． -$\frac{3}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为4，分别表示出各点的坐标，再根据$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{OF}$，得到关于λ，μ的方程组解得即可．

解答 解：以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为4，
∴B（4，4），A（0，4），E（1，1），O（2，2），F（4，1），
∴$\overrightarrow{BD}$=（-4，-4），$\overrightarrow{AE}$=（1，-3），$\overrightarrow{OF}$=（2，-1），
∵$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{OF}$，
∴（-4，-4）=（λ，-3λ）+（2μ，-μ）=（λ+2μ，-3λ-μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+2μ=-4}\\{-3λ-μ=-4}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{12}{5}$，μ=-$\frac{16}{5}$，
∴λ+μ=-$\frac{4}{5}$，
故选：D

点评 本题考查了向量坐标的是运算，关键是构造平面直角坐标系，属于中档题