Question

16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c-2bcosA．
（1）求证：A=2B；
（2）若5b=3c，$a=4\sqrt{6}$，求BC边上的高．

Answer 1

分析 （1）因为b=c-2bcosA，所以sinB=sinC-2sinBcosA，进而sinB=sin（A-B），即可证明结论；
（2）由余弦定理，求出b=6，c=10，利用等面积求BC边上的高．

解答 （1）证明：因为b=c-2bcosA，
所以sinB=sinC-2sinBcosA，
因为C=π-（B+A），
所以sinB=sin（π-（B+A））-2sinBsinA
所以sinB=sinBcosA+cosBsinA-2sinBcosA
即sinB=cosBsinA-sinBcosA，
即sinB=sin（A-B），
因为0＜B＜π，0＜A＜π，所以-π＜A-B＜π，
所以B=A-B或B=π-（A-B），
故A=2B；
（2）解：由5b=3c及b=c-2bcosA得，$cosA=\frac{1}{3}$，
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA得${（4\sqrt{6}）^2}={b^2}+{（\frac{5}{3}b）^2}-2b×\frac{5}{3}b×\frac{1}{3}$，
解得：b=6，c=10，
由$cosA=\frac{1}{3}$得，$sinA=\frac{2}{3}\sqrt{2}$，
设BC边上的高为h，则$\frac{1}{2}×bcsinA=\frac{1}{2}×ah$，
即$6×10×\frac{2}{3}\sqrt{2}=4\sqrt{6}h$，
所以$h=\frac{10}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形中的几何计算，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．