Question

6．设a∈R，求关于x的不等式ax²-3x-1≥0（x＜0）的解集．

Answer 1

分析 对a和判别式进行讨论求解即可．

解答 解：不等式ax²-3x-1≥0（x＜0），
当a=0时，可得-3x-1≥0，解得：x$≤-\frac{1}{3}$．
∵△=9+4a，
当a＞0时，△＞0，方程ax²-3x-1=0的两个根：
${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$＜0，${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$＞0，
不等式解集，（-∞，$\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$]，
当$-\frac{9}{4}$＜a＜0时，△＞0，方程ax²-3x-1=0的两个根：
${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$＜0，${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$＜0，
不等式解集（-∞，$\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$]∪[$\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$，+∞）．
当$-\frac{9}{4}$＞a时，△＜0，方程ax²-3x-1=0的两个根：
${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$＞0，${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$＞0，
不等式解集：∅，
当$-\frac{9}{4}$=a时，△=0，方程ax²-3x-1=0的两个相等根：
$x=\frac{3}{2a}$．
不等式解集：∅．
综上可得：当$-\frac{9}{4}$≥a时，不等式解集：∅．
当$-\frac{9}{4}$＜a＜0时，不等式解集（-∞，$\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$]∪[$\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$，+∞）．
当a＞0时，不等式解集，（-∞，$\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$]．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，讨论思想的运用，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．