Question

5．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=7，a₃为整数，且S_n的最大值为S₅．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意列式求出公差，进一步求出首项，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和S_n的最大值为S₅．
∴a₅≥0，则d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{3}$=$\frac{{a}_{5}-7}{3}$$≥-\frac{7}{3}$，
a₆≤0，则d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{2}}{4}=\frac{{a}_{6}-{a}_{2}}{4}≤-\frac{7}{4}$，
∵a₃=a₂+d=7+d为整数，∴d=-2．
则a₁=a₂-d=7-（-2）=9，
∴a_n=9-2（n-1）=11-2n；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{11-2n}{{2}^{n}}$，
则${T}_{n}=9•\frac{1}{2}+7•\frac{1}{{2}^{2}}+…+$$\frac{13-2n}{{2}^{n-1}}+\frac{11-2n}{{2}^{n}}$，
$-\frac{1}{2}{T}_{n}=9•\frac{1}{{2}^{2}}+7•\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{13-2n}{{2}^{n}}+\frac{11-2n}{{2}^{n+1}}$，
两式作差得：$\frac{3}{2}{T}_{n}=\frac{9}{2}-2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）-\frac{11-2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{9}{2}-2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{11-2n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{9}{2}-（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）-\frac{11-2n}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=\frac{7}{3}+\frac{1}{3}•\frac{2n-7}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．