Question

15．已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和•且S₄=S₃+3a₃，a₂=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式可得首项和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ；运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
S₄=S₃+3a₃，a₂=9，可得
a₄=S₄-S₃=3a₃，即q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=3，
a₁q=9，可得a₁=3，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=3ⁿ；
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ；
则前n项和T_n=1•3¹+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ；
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹；
两式相减可得，-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹；
化简可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．