Question

20．（1）已知ABCD是复平面内的平行四边形，并且A，B，C三点对应的复数分别是3+i，-2i，-1-i，求D点对应的复数；
（2）已知复数Z₁=2，$\frac{{Z}_{2}}{{Z}_{1}}$=i，并且|z|=2$\sqrt{2}$，|z-z₁|=|z-z₂|，求z．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，利用向量相等求出D的坐标得答案；
（2）由已知求得z₂，设出z，结合|z|=2$\sqrt{2}$，|z-z₁|=|z-z₂|列方程组得答案．

解答 解：（1）∵A，B，C三点对应的复数分别是3+i，-2i，-1-i，
∴作出平行四边形ABCD如图：A（3，1），B（0，-2），C（-1，-1），设D（x，y），
则$\overrightarrow{AB}=（-3，-3）$，$\overrightarrow{DC}=（-1-x，-1-y）$，
由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，得x=y=2，∴D（2，2），则D点对应的复数为2+2i；
（2）∵z₁=2，$\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}}$=i，∴z₂=2i，
设z=x+yi，则由|z|=2$\sqrt{2}$，|z-z₁|=|z-z₂|，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+（y-2）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴z=-2-2i，或z=2=2i．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．