Question

10．已知P是边长为4的正△ABC的边BC上的动点，则$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$（　　）

• A． 最大值为16
• B． 是定值24
• C． 最小值为4
• D． 是定值4

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BP}$=t$\overrightarrow{BC}$，根据平面向量的数量积计算$\overrightarrow{AP}$•﹙$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$﹚的值．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BP}$=t$\overrightarrow{BC}$，
则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=16，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=4×4×cos60°=8；
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{a}$+t﹙$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$﹚=﹙1-t﹚$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，
又∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•﹙$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$﹚=[﹙1-t﹚$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$]•﹙$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$﹚
=﹙1-t﹚${\overrightarrow{a}}^{2}$+[﹙1-t﹚+t]$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+t${\overrightarrow{b}}^{2}$
=﹙1-t﹚×16+8+t×16=24，
∴$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$是定值24．
故选：B．

点评 本题主要考查平面向量的数量积运算和线性运算，是基础题．