Question

17．若a∈R，b∈R，且a＞0，b＞0，2c＞a+b．
（1）综合法证明：c²＞ab；
（2）分析法证明：c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可证明结论；
（2）是一个连锁不等式，不易用比较法，又待证的不等式即|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，也不具备使用基本不等式的特点，而用分析法较合适．

解答 证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴2c＞a+b≥2$\sqrt{ab}$．
∴c＞$\sqrt{ab}$＞0．故c²＞ab．
（2）要证原不等式成立，只要证-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a-c＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，
即只要证明|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，
即证（a-c）²＜c²-ab，只需证a（a+b-2c）＜0．
∵a＞0，2c＞a+b，
∴a（a+b-2c）＜0成立．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查分析法，属于中档题．