Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=PB，E，F分别是PA，PB的中点．
（1）在图中画出过点E，F的平面α，使得α∥平面PCD（须说明画法，并给予证明）；
（2）若过点E，F的平面α∥平面PCD且截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）分别取AD，BC的中点H，G，连接EF、EH、HG、FG，推导出E、F、G、H四点共面，平面FEHG为所求平面α，先求出EH∥面PCD，再求出HG∥面PCD，从而得到α∥面PCD．
（2）设PA=2a，则EF=a，GH=2a，截面α面积为梯形EFGH的面积，推导出梯形EFGH为直角梯形，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答 证明：（1）如图所示，分别取AD，BC的中点H，G，
连接EF、EH、HG、FG，
∵EF∥AB，AB∥HG，∴EF∥HG，即E、F、G、H四点共面，
则平面FEHG为所求平面α，
∵EH∥PD，EH?面PCD，PD?面PCD，∴EH∥面PCD．
同理可得：HG∥面PCD，且HG∩EH=H，
∴α∥面PCD．
解：（2）设PA=2a，则EF=a，GH=2a，
由（1）知截面α面积为梯形EFGH的面积，
∵PA⊥面ABCD，AB是PB在平面ABCD的射影，且AB⊥BC，∴PB⊥BC，
同理可证：EH⊥GH，∴梯形EFGH为直角梯形．
在Rt△FBG中，BF=$\sqrt{2}a$，BG=a，∴GH=2a，
∴S_梯形EFGH=$\frac{（EF+GH）•EH}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，∴a=1，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$•PA•S_{正方形ABCD}=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查满足条件的平面的求法，考查四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．