Question

18．梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD交于P₁，过P₁作AB的平行线交BC于点Q₁，AQ₁交BD于P₂，过P₂作AB的平行线交BC于点Q₂，…．，若AB=a，CD=b，则P_nQ_n=$\frac{ab}{a+nb}，n∈N*$（用a，b，n表示）

Answer 1

分析 运用三角形相似可得P₁Q₁=$\frac{ab}{a+b}$；P₂Q₂=$\frac{ab}{a+2b}$；归纳可得P_nQ_n=$\frac{ab}{a+nb}$．运用取倒数，结合调查核实了的通项公式即可得到结论．

解答 解：梯形ABCD中，易得△CDP₁∽△ABP₁，
可得$\frac{CD}{AB}$=$\frac{C{P}_{1}}{A{P}_{1}}$=$\frac{b}{a}$，
在△CAB中，P₁Q₁∥AB，
可得$\frac{{P}_{1}{Q}_{1}}{AB}$=$\frac{C{P}_{1}}{CA}$=$\frac{b}{b+a}$，
即有P₁Q₁=$\frac{ab}{a+b}$；
同理可得$\frac{{P}_{2}{Q}_{2}}{AB}$=$\frac{{Q}_{1}{P}_{2}}{{Q}_{1}A}$=$\frac{\frac{ab}{a+b}}{\frac{ab}{a+b}+a}$=$\frac{b}{a+2b}$，
即有P₂Q₂=$\frac{ab}{a+2b}$；
同理可得$\frac{{P}_{3}{Q}_{3}}{AB}$=$\frac{\frac{ab}{a+2b}}{\frac{ab}{a+2b}+a}$=$\frac{b}{a+3b}$，
即有P₃Q₃=$\frac{ab}{a+3b}$；
…，
归纳可得P_nQ_n=$\frac{ab}{a+nb}$．
理由：由P_nQ_n=$\frac{a{P}_{n-1}{Q}_{n-1}}{{P}_{n-1}{Q}_{n-1}+a}$，
取倒数可得，$\frac{1}{{P}_{n}{Q}_{n}}$=$\frac{1}{{P}_{n-1}{Q}_{n-1}}$+$\frac{1}{a}$，
即有$\frac{1}{{P}_{n}{Q}_{n}}$=$\frac{1}{{P}_{1}{Q}_{1}}$+（n-1）•$\frac{1}{a}$=$\frac{a+b}{ab}$+（n-1）•$\frac{1}{a}$=$\frac{a+nb}{ab}$，
则P_nQ_n=$\frac{ab}{a+nb}$．
故答案为：$\frac{ab}{a+nb}，n∈N*$．

点评 本题考查归纳推理的运用，注意应用三角形相似，考查数列的通项公式的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．