Question

10．若数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{{{2^{19}}}}$，${a_{n+1}}={2^{20}}a_n^2$，则a₁a₂…a_n的最小值为2^-69．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{{{2^{19}}}}$，${a_{n+1}}={2^{20}}a_n^2$＞0，可得log₂a_n+1=2log₂a_n+20．令log₂a_n=b_n，b₁=-19．可得：b_n+1+20=2（b_n+20），利用等比数列的通项公式b_n=2^n-1-20，log₂a_n=2^n-1-20，令a₁a₂…a_n=t_n．通过去对数运算，利用函指数函数的单调性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{{{2^{19}}}}$，${a_{n+1}}={2^{20}}a_n^2$＞0，
∴log₂a_n+1=2log₂a_n+20．
令log₂a_n=b_n，b₁=-19．
∴b_n+1=2b_n+20，变形为：b_n+1+20=2（b_n+20），
∴数列{b_n+20}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴b_n+20=2^n-1，即b_n=2^n-1-20，
∴log₂a_n=2^n-1-20，
令a₁a₂…a_n=t_n．
∴log₂t_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=（1+2+2²+…+2^n-1）-20n
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-20n=2ⁿ-1-20n．
∴a₁a₂…a_n=t_n=${2}^{{2}^{n}-1-20n}$．
n=1时，指数=-19；n=2时，指数=-37；n=3时，指数=-53；n=4时，指数=-65．n=5时，指数=-69；n=6时，指数=-57，n≥5时，指数单调递增．
则a₁a₂…a_n的最小值为 2^-69．
故答案为：2^-69．

点评 本题考査了等比数列的通项公式、“错位相减法”、对数运算性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．