Question

20．已知函数f（x）=3x-x³，x∈R．
（1）求f'（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设出p的坐标，表示出切线方程，令F（x）=f（x）-g（x），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）由f（x）=3x-x³，可得f′（x）=3（1-x²），
令f′（x）=0，解得x=1，或x=-1；
当x变化时，f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f′（x）	-	+	-

所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，在（-1，1]上单调递增．
（2）设点p的坐标为（x₀，0），则x₀=$\sqrt{3}$，f′（$\sqrt{3}$）=-6，
曲线y=f（x）在点p处的切线方程为y=f′（$\sqrt{3}$）（x-$\sqrt{3}$），即g（x）=-6（x-$\sqrt{3}$），
令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）=f（x）+6（x-$\sqrt{3}$），所以F′（x）=f′（x）+6，
由于f′（x）在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为F′（$\sqrt{3}$）=0，所以当x∈（0，$\sqrt{3}$）时，F′（x）＞0，
当x∈（$\sqrt{3}$，+∞）时，F′（x）＜0，
所以F（x）在（0，$\sqrt{3}$）内单调递增，在（$\sqrt{3}$，+∞）上单调递减，
所以对于任意的正实数x，都有F（x）≤F（$\sqrt{3}$）=0，
故对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．