Question

5．已知数列{a_n}为等差数列，若a₁²+a₁₀²≤25恒成立，则a₁+3a₇的取值范围为（　　）

• A． [-5，5]
• B． [-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]
• C． [-10，10]
• D． [-10$\sqrt{2}$，10$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用等差数列的性质令a₁=5cosθ，a₁₀=5sinθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），则d=$\frac{5}{9}$（sinθ-cosθ），问题转化为三角函数在定区间上求最值问题解决即可．

解答 解：由题意得，令a₁=5cosθ，a₁₀=5sinθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），则d=$\frac{5}{9}$（sinθ-cosθ），
∴a₁+3a₇=10（sinθ+cosθ）=10$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴a₁+3a₇的取值范围为[-10$\sqrt{2}$，10$\sqrt{2}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，借助三角函数，通过等价转化思想达到解决问题的目的，要体会这种换元法的解题思路，属中档题．