Question

13．随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在17：00-21：00时间段的休闲方式是否与性别有关，得到下面的数据表：

休闲方式 性别	看电视	看书	合计
男	20	10	30
女	45	5	50
合计	65	15	80

（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；
（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为在17：00-21：00时间段的休闲方式与性别有关系？

Answer 1

分析 （1）由题意可知，X=0，1，2，3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为$P=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$，随机变量X服从二项分布，运用独立重复试验公式求出概率后列出分布列，运用二项分布公式求X的期望；
（2）根据计算出的临界值，同临界值表进行比较，得到有99%的把握认为在17：00-21：00时间段的休闲方式与性别有关系．

解答 解：（1）由题意可知，X=0，1，2，3，
且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为$P=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$，
根据题意可得X～B（3，$\frac{1}{3}$），∴$P（X=k）=C_3^k{（\frac{2}{3}）^{3-k}}{（\frac{1}{3}）^k}$，k=0，1，2，3，
故X的分布列为 

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

所以$E（X）=3×\frac{1}{3}=1$．
（2）由${K^2}=\frac{{n{{（{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}）}^2}}}{{{n_1}+{n_2}+{n_{+1}}{n_{+2}}}}$，得${K^2}=\frac{{80×{{（45×10-20×5）}^2}}}{65×15×50×30}=\frac{784}{117}≈6.70$，
因为6.70＞6.635，所以我们有99%的把握认为在17：00-21：00时间段的休闲方式与性别有关系．

点评 本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．