Question

1．函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{2}$个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（　　）

• A． $f（{x+\frac{π}{4}}）$是奇函数
• B． $（{\frac{π}{4}，0}）$为f（x）的一个对称中心
• C． f（x）在$（{-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}}）$上单调递增
• D． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减

Answer 1

分析 利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、单调性，以及它的图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：把函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{2}$个单位后，
得到 y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ+π）=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的图象，
再根据所得关于y轴对称，可得$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）=2cos2x．
由于f（x+$\frac{π}{4}$）=2cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-sin2x是奇函数，故A正确；
当x=$\frac{π}{4}$时，f（x）=0，故（$\frac{π}{4}$，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；
在$（{-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}}）$上，2x∈（-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{2}$），f（x）没有单调性，故C不正确；
在（0，$\frac{π}{2}$）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，
故选：C．

点评 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性、单调性，以及它的图象的对称性，属于中档题．