Question

9．已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e）．
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为a=-$\frac{1}{x}$在（1，e）有解，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x+lnx，
f′（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{2-x}{2x}$，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：2＜x＜e，
故f（x）在（1，2）递增，在（2，e）递减；
（2）f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，
若f（x）有极值，只需ax+1=0在（1，e）有解，
即a=-$\frac{1}{x}$在（1，e）有解，
故-1＜a＜-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．