Question

18．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$，记z=x+3y的最小值为k，则函数f（x）=e^x+k-2的图象恒过定点（2，-1）．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=1}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得A（1，-1），
化目标函数z=x+3y为y=$-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$，由图可知，当直线y=$-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-2．
∴函数f（x）=e^x+k-2=e^x-2-2．
取x-2=0，得x=2，f（2）=-1．
故函数f（x）=e^x+k-2的图象恒过定点（2，-1）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．