Question

7．已知函数$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-lnx$，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线$y=\frac{1}{2}x$
（1）求实数a的值
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，根据f'（1）=-2，求出a的值；
（2）代入a，根据导函数得出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∵f'（1）=-2，
∴a=$\frac{5}{4}$；
（2）f'（x）=$\frac{（x-5）（x+1）}{4{x}^{2}}$，
当x∈（0，5）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（5，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
∴函数的递增区间为（5，+∞），递减区间为（0，5）．

点评 本题考查了导函数的概念和利用导函数判断函数的单调区间，属于基础题型，应熟练掌握．