Question

15．已知函数f（x）=3|x-a|+|ax-1|，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（Ⅲ）若对任意的实数x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x-a|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x-a|+|ax-1|=4|x-1|，即可写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（-1）=f（1）⇒3|1-a|+|a-1|=3|-1-a|+|-a-1|，即可求实数a的值；
（Ⅲ）对任意的实数x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x-a|恒成立?对任意的实数x∈[0，3]，（3-3x）|x-a|+|ax-1|≥0，分类讨论求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x-a|+|ax-1|=4|x-1|，函数f（x）的减区间为（-∞，1），增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（-1）=f（1）⇒3|1-a|+|a-1|=3|-1-a|+|-a-1|，解得a=0，经检验符合题意．
（Ⅲ）对任意的实数x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x-a|恒成立?对任意的实数x∈[0，3]，（3-3x）|x-a|+|ax-1|≥0，
①当0≤x≤1时，（3-3x）|x-a|+|ax-1|≥0恒成立，a∈R
②当x∈（1，3]时，原不等式等价于|ax-1|≥|（3x-3）|x-a|
令g（x）=|（3x-3）（x-a）|，h（x）=|ax-1|
当a＞1时，0＜$\frac{1}{a}$≤1，由ax-1=（3x-3）（a-x），即3x²-（2a+3）x-1+3a=0，△=（2a+3）²-12（-1+3a）=0，a=$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$（另一根舍去），∴a＞$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$；
a=1时，不满足h（3）＞g（3）；
0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即-3a-1≥6（3-a），解得a≥$\frac{19}{3}$，舍去；
a≤0，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即3a-1≥6（3-a），解得a≥$\frac{19}{9}$，舍去；
综上所述a＞$\frac{6+\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．